Sur un théorème de Dulac

Stolovitch, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 5, pp. 1397-1433.

Nous considérons les champs de vecteurs analytiques de $({ℂ}^n,0)$ de partie linéaire diagonale non nulle et dont les valeurs propres ${\lambda }_i\in ℂ$ vérifient des relations de résonances toutes engendrées par une seule relation $(r,\lambda )=0$ pour un certain vecteur $r\in {\mathbb{N}}^n$ non nul. Nous montrons que, dans un système de coordonnées locales holomorphes au voisinages de $0\in {ℂ}^n$, de tels champs de vecteurs se “mettent" sous une forme normale partielle, tout en exhibant des variétés invariantes, si l’on fait une hypothèse de petits diviseurs diophantiens. Nos résultats généralisent, à une dimension quelconque, ceux en dimension 2 de H. Dulac.

We shall consider holomorphic vector fields of $({ℂ}^n,0)$ with a non zero diagonal linear part and which eigenvalues ${\lambda }_i\in ℂ$ satisfy to some resonnance’s relations all generated by one relation $(r,\lambda )=0$ for a non zero vector $r\in {\mathbb{N}}^n$. We shall show that such vector fields can be transformed, by a local holomorphic diffeomorphism near $0\in {ℂ}^n$, into a preliminary normal forms while exhibiting invariant varieties, if an hypothesis of diophantine small divisors is made. Our results generalize, to any dimension, those done by H. Dulac in dimension 2.

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