The homology of the discrete groupe for a local ring behaves like the homology of the Lie algebra for an associative algebra over a characteristic zero field. The aim of this article is to survey the known results (without giving any proof) about these homology groups and to connect them with algebraic -theory cyclic homology and motivic cohomology. Some questions are raised and a definition for an “addivitive motivic cohomology theory” is suggested.
Pour un anneau local l’homologie du groupe discret a un comportement tout à fait analogue à l’homologie de l’algèbre de Lie lorsque est une algèbre associative sur un corps de caractéristique zéro. L’objet de cet article est de faire une synthèse (sans démonstration) des résultats connus sur ces groupes d’homologie en exhibant leurs liens avec la -théorie algébrique, l’homologie cyclique et la cohomologie motivique. On y pose un certain nombre de questions et on propose une définition pour l’analogue additif de la cohomologie motivique.
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Loday, Jean-Louis. Comparaison des homologies du groupe linéaire et de son algèbre de Lie. Annales de l'Institut Fourier, Volume 37 (1987) no. 4, pp. 167-190. doi : 10.5802/aif.1116. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1116/
[1] Height pairing between algebraic cycles, Contemporary Mathematics, vol. 67 (1987). | MR | Zbl
,[2] Notes on motivic cohomology, Duke J. Math., 54 (1987), 679-710. | MR | Zbl
, and .[3] The dilogarithm and extensions of Lie algebras, Springer Lecture Notes in Math., 854 (1981), 1-23. | MR | Zbl
,[4] Algebraic cycles and higher algebraic K-theory, Adv. Math., 61 (1986), 267-304. | MR | Zbl
,[5] Central localization in Hochschild homology, preprint (1987). | MR | Zbl
,[6] Sur l'homologie de SL2 dans la représentation adjointe, Math Scand. (à paraître).
,[7] Non commutative differential geometry, Publ. Math. I.H.E.S., 62 (1986), 257-360. | EuDML | Numdam | MR | Zbl
,[8] Scissors congruences, J. Pure App. Alg., 25 (1982), 159-195. | MR | Zbl
and ,[9] The homology of matrix Lie algebras over rings and the Hochschild homology, Uspehi Mat. Nauk, 38 (1983), 217-218. | MR | Zbl
and ,[10] Crossed simplicial groups and their associated homology, preprint 1986, 45p., soumis pour publication. | Zbl
and ,[11] On the general linear group and Hochschild homology, Ann. Math., 121 (1965), 383-407. | MR | Zbl
,[12] Relative algebraic K-theory and cyclic homology, Ann. of Maths, 124 (1986), 347-402. | MR | Zbl
,[13] Quelques résultats sur l'homologie cyclique des algèbres en caractéristique positive, Comptes Rendus Acad. Sc. Paris, 304 (1987), 139-142. | MR | Zbl
,[14] Homologie du groupe linéaire et symboles en K-théorie algébrique, Thèse d'État, Université L. Pasteur, Strasbourg, Mai 1987. | Zbl
,[15] Obstruction à l'excision en K-théorie algébrique, Proc. Evanston Conf. 1980, Springer Lecture Notes in Math., 854 (1981), 179-216. | MR | Zbl
and ,[16] The homology of nilpotent Lie groups made discrete, Astérisque, 113-114 (1984), 206-211. | Numdam | MR | Zbl
,[17] Homology stability of linear groups, Invent. Math., 60 (1980), 269-295. | MR | Zbl
,[18] A presentation for some K2(n,R), Bull. Amer. Math. Soc., 81 (1975), 934-936. | MR | Zbl
, and ,[19] Extensions centrales d'algèbres de Lie, Ann. Inst. Fourier, 32-4 (1982), 119-142. | Numdam | MR | Zbl
et ,[20] Multiplicateurs de Schur et K-théorie, Essays in Topology and related topics (Mémoires dédiés à G. de Rham), 1970, Springer Verlag, pp. 212-225. | MR | Zbl
,[21] K2 of non commutative local rings, J. Algebra, 95 (1985), 173-200. | MR | Zbl
,[22] Values of zeta function at non negative integers, Springer Lecture Notes in Math., 1068 (1984), 127-138. | MR | Zbl
,[23] The construction of weight-two arithmetic cohomology, Invent. Math., 88 (1987), 183-215. | MR | Zbl
,[24] K-théorie algébrique et représentations de groups, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. Paris, 9 (1976), 309-377. | Numdam | MR | Zbl
,[25] Symboles en K-théorie algébrique supérieure, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 292 (1981), 863-866. | MR | Zbl
,[26] On the boundary map K3(Λ/I) → K2(Λ,I), in Algebraic K-theory, Evanston 1980, Springer L.N., 854 (1981), 262-268. | Zbl
,[27] Cyclic homology and lambda operations (in preparation). | Zbl
and ,[28] Cyclic homology and the Lie algebra homology of matrices, Comment. Math. Helv., 59 (1984), 565-591. | MR | Zbl
and ,[29] Correspondences, motifs and monoidal transformations, Mat. Sborn., 77, 119 (1968), 475-507. | MR | Zbl
,[30] Values of zeta functions of varieties over finite fields, Amer. J. Math., 108 (1986), 297-360. | MR | Zbl
,[31] Introduction to algebraic K-theory, Princeton University Press (1970).
,[32] A map from cyclic homology to K-theory, Ph. D. thesis Ohio State University, 1984.
,[33] Relative algebraic K-theory and cyclic homology, in preparation.
and ,[34] « Plus » construction for Lie algebras, Bull. Acad. Sc. Georgian SSR, 118 n° 2 (1985), 253-256. | MR | Zbl
,[35] Cohomology of groups, Actes Congrès Intern. Math., t. 2, (1970), 47-51. | MR | Zbl
,[36] Zentrale Erweiterungen der spezielle lineare Gruppe eines Schiefkörpers, J. Reine Angewandte Math., 301 (1978), 77-104. | MR | Zbl
,[37] A reciprocity law for K2-traces, Comment. Math. Helv., 58 (1983), 38-47. | MR | Zbl
and ,[38] Homology of classical Lie groups made discrete, I. Stability theorems and Schur multipliers, Comment. Math. Helv., 61 (1986), 308-347. | MR | Zbl
,[39] Stability in algebraic K-theory, Algebraic K-theory, Proc. Oberwolfach 1980, Springer L. N., 966 (1982), 304-333. | MR | Zbl
,[40] Homology of GLn, characteristic classes and Milnor K-theory, Algebraic K-theory Number theory and Analysis, Proc. Bielefeld 1982, Springer L. N., 1046 (1984), 357-384. | Zbl
,[41] K3 d'un corps et groupe de Bloch, (en russe) Proc. Steklov Inst. (à paraître).
,Cited by Sources: