Creation of fermions by rotating charged black holes
[Création de fermions par des trous noirs chargés en rotation]
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 117 (2009) , 160 p.

Ce travail est consacré à l’étude mathématique de l’effet Hawking pour des fermions dans le cadre de l’effondrement d’une étoile chargée en rotation. On démontre qu’un observateur localisé loin de l’étoile et au repos par rapport aux coordonnées de Boyer-Lindquist observe l’émergence d’un état thermal quand son temps propre tend vers l’infini. On introduit d’abord un modèle de l’effondrement de l’étoile. On suppose que l’espace-temps à l’extérieur de l’étoile est donné par la métrique de Kerr-Newman. Les hypothèses sur le comportement asymptotique de la surface de l’étoile sont inspirées par le comportement asymptotique de certaines géodésiques de type temps dans la métrique de Kerr-Newman. L’équation de Dirac est alors écrite en utilisant des coordonnées et une tétrade de Newman-Penrose adaptées à l’effondrement. Ce système de coordonnées et cette tétrade sont basés sur des géodésiques qu’on appelle des géodésiques simples isotropes. La quantification des champs de Dirac dans un espace-temps globalement hyperbolique est décrite. On formule un théorème sur l’effet Hawking dans ce cadre. La preuve du théorème contient une estimation de vitesse minimale pour les champs de Dirac légèrement plus forte que les estimations usuelles ainsi qu’un résultat d’existence et d’unicité pour les solutions d’un problème caractéristique pour les champs de Dirac dans l’espace-temps de Kerr-Newman. Dans un appendice, nous construisons explicitement la compactification de Penrose du bloc I de l’espace-temps de Kerr-Newman qui est basée sur les géodésiques simples isotropes.

This work is devoted to the mathematical study of the Hawking effect for fermions in the setting of the collapse of a rotating charged star. We show that an observer who is located far away from the star and at rest with respect to the Boyer Lindquist coordinates observes the emergence of a thermal state when his proper time goes to infinity. We first introduce a model of the collapse of the star. We suppose that the space-time outside the star is given by the Kerr-Newman metric. The assumptions on the asymptotic behavior of the surface of the star are inspired by the asymptotic behavior of certain timelike geodesics in the Kerr-Newman metric. The Dirac equation is then written using coordinates and a Newman-Penrose tetrad which are adapted to the collapse. This coordinate system and tetrad are based on the so called simple null geodesics. The quantization of Dirac fields in a globally hyperbolic space-time is described. We formulate and prove a theorem about the Hawking effect in this setting. The proof of the theorem contains a minimal velocity estimate for Dirac fields that is slightly stronger than the usual ones and an existence and uniqueness result for solutions of a characteristic Cauchy problem for Dirac fields in the Kerr-Newman space-time. In an appendix we construct explicitly a Penrose compactification of block I of the Kerr-Newman space-time based on simple null geodesics.

DOI : 10.24033/msmf.429
Classification : 35P25, 35Q75, 58J45, 83C47, 83C57, 83C60
Keywords: General relativity, Kerr-Newman metric, Quantum field theory, Hawking effect, Dirac equation, Scattering theory, Characteristic Cauchy problem.
Mot clés : relativité générale, métrique de Kerr-Newman, théorie quantique des champs, effet Hawking, équation de Dirac, théorie de la diffusion, problème caractéristique 
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Häfner, Dietrich. Creation of fermions by rotating charged black holes. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 117 (2009), 160 p. doi : 10.24033/msmf.429. http://numdam.org/item/MSMF_2009_2_117__1_0/

[1] A. Bachelot – « Gravitational scattering of electromagnetic field by a Schwarzschild black hole », Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 54 (1991), p. 261–320. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[2] —, « Asymptotic completeness for the Klein-Gordon equation on the Schwarzschild metric », Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 61 (1994), p. 411–441. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[3] —, « Quantum vacuum polarization at the black-hole horizon », Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 67 (1997), p. 181–222. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[4] —, « Scattering of scalar fields by spherical gravitational collapse », J. Math. Pures Appl. 76 (1997), p. 155–210. | MR | Zbl

[5] —, « The Hawking effect », Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 70 (1999), p. 41–99. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[6] —, « Creation of fermions at the charged black-hole horizon », Ann. Henri Poincaré 1 (2000), p. 1043–1095. | MR | Zbl

[7] —, « Superradiance and scattering of the charged Klein-Gordon field by a step-like electrostatic potential », J. Math. Pures Appl. 83 (2004), p. 1179–1239. | MR | Zbl

[8] A. N. Bernal & M. Sanchez – « On smooth hypersurfaces and Geroch’s splitting theorem », Comm. Math. Phys. 243 (2003), p. 461–470. | MR | Zbl

[9] —, « Smoothness of time functions and the metric splitting of globally hyperbolic space-times », Comm. Math. Phys. 257 (2005), p. 43–50. | MR | Zbl

[10] S. De Bièvre, P. Hislop & I. Sigal – « Scattering theory for the wave equation on non-compact manifolds », Rev. Math. Phys. 4 (1992), p. 575–618. | MR | Zbl

[11] O. Bratelli & D. W. Robinson – Operator algebras and quantum statistical mechanics 2, Springer Verlag, 1997. | MR

[12] B. Carter – Black hole equilibrium states, black holes/ les astres occlus, École d’été de Physique théorique, Les Houches, 1972, pp.57–214, Gordon and Breach, 1973. | MR

[13] S. Chandrasekhar – The mathematical theory of black holes, Oxford Univ. Press, 1983. | MR | Zbl

[14] T. Daudé – « Scattering of charged Dirac fields by a Reissner-Nordström black hole », Preprint Université Bordeaux 1, 2004, Ph.D. thesis Université Bordeaux 1 (2004), Chapter 3, available online at http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011974/en/.

[15] —, « Scattering of charged Dirac fields by a Kerr-Newman black hole », Preprint Université Bordeaux 1, 2004, Ph.D. thesis Université Bordeaux 1 (2004), Chapter 4, available online at http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011974/en/.

[16] J. Dimock – « Algebras of local observables on a manifold », Comm. Math. Phys. 77 (1980), p. 219–228. | MR | Zbl

[17] —, « Dirac quantum fields on a manifold », Trans. Amer. Math. Soc. 269 (1982), p. 133–147. | MR | Zbl

[18] —, « Scattering for the wave equation on the Schwarzschild metric », Gen. Relativ. Gravitation 17 (1985), p. 353–369. | MR | Zbl

[19] J. Dimock & B. S. Kay – « Scattering for massive scalar fields on Coulomb potentials and Schwarzschild metrics », Classical Quantum Gravity 3 (1986), p. 71–80. | MR | Zbl

[20] —, « Classical and quantum scattering theory for linear scalar fields on the Schwarzschild metric I », Ann. Phys. 175 (1987), p. 366–426. | MR | Zbl

[21] —, « Classical and quantum scattering theory for linear scalar fields on the Schwarzschild metric II », J. Math. Phys. 27 (1986), p. 2520–2525. | MR | Zbl

[22] F. Finster, N. Kamran, J. Smoller & S.-T. Yau – « An integral spectral representation of the propagator for the wave equation in the Kerr geometry », Comm. Math. Phys. 260 (2005), p. 257–298. | MR | Zbl

[23] S. J. Flechter & A. W. C. Lun – « The Kerr spacetime in generalized Bondi-Sachs coordinates », Class. Quantum Grav. 20 (2003), p. 4153–4167. | MR | Zbl

[24] R. P. Geroch – « Spinor structure of space-times in general relativity I », J. Math. Phys. 9 (1968), p. 1739–1744. | MR | Zbl

[25] —, « Spinor structure of space-times in general relativity II », J. Math. Phys. 11 (1970), p. 342–348. | MR | Zbl

[26] —, « The domain of dependence », J. Math. Phys. 11 (1970), p. 437–449. | MR | Zbl

[27] D. Häfner – « Complétude asymptotique pour l’équation des ondes dans une classe d’espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats », Ann. Inst. Fourier 51 (2001), p. 779–833. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[28] —, « Sur la théorie de la diffusion pour l’équation de Klein-Gordon dans la métrique de Kerr », Dissertationes Mathematicae 421 (2003), 102pp.

[29] D. Häfner & J.-P. Nicolas – « Scattering of massless Dirac fields by a Kerr black hole », Rev. Math. Phys. 16 (2004), p. 29–123. | MR | Zbl

[30] S. W. Hawking – « Particle creation by black holes », Comm. Math. Phys. 43 (1975), p. 199–220. | MR

[31] L. Hörmander – The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Vol. I–IV, Springer, 1985. | MR

[32] —, « A remark on the characteristic Cauchy problem », J. Funct. Anal. 93 (1990), p. 270–277. | MR | Zbl

[33] W. M. Jin – « Scattering of massive Dirac fields on the Schwarzschild black hole spacetime », Classical Quantum Gravity 15 (1998), p. 3163–3175. | MR | Zbl

[34] W. Kinnersley – « Type D vacuum metrics », J. Math. Phys. 10 (1969), p. 1195–1203. | MR | Zbl

[35] L. J. Mason & J.-P. Nicolas – « Conformal scattering and the Goursat problem », J. Hyperbolic Differ. Equ. 1 (2004), p. 197–233. | MR | Zbl

[36] F. Melnyk – « Scattering on Reissner-Nordstrøm metric for massive charged spin 1 2 fields », Ann. Henri Poincaré 4(5) (2003), p. 813–846. | MR | Zbl

[37] —, « The Hawking effect for spin 1 2 fields », Comm. Math. Phys. 244 (2004), p. 483–525. | MR | Zbl

[38] J.-P. Nicolas – « Scattering of linear Dirac fields by a spherically symmetric black hole », Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 62 (1995), p. 145–179. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[39] —, « Global exterior Cauchy problem for spin 3 2 zero rest-mass fields in the Schwarzchild space-time », Comm. Partial Differential Equations 22 (1997), p. 465–502.

[40] —, « Dirac fields on asymptotically flat space-times », Dissertationes Mathematicae 408 (2002), 85pp. | EuDML | Zbl

[41] —, « On Lars Hörmander’s remark on the characteristic Cauchy problem », Ann. Inst. Fourier 56 (2006), p. 517–543. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[42] B. O’Neill – The geometry of Kerr black holes, A.K. Peters, Wellesley, 1995. | MR | Zbl

[43] A. Pazy – Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 44, Springer Verlag, 1983. | MR | Zbl

[44] R. Penrose & W. Rindler – Spinors and space-time, vol. I, Cambridge monographs on mathematical physics, Cambridge Univ. Press, 1984. | MR

[45] E. Stiefel – « Richtungsfelder und Fernparallelismus in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten », Comment. Math. Helv. 8 (1936), p. 305–353. | MR | EuDML | JFM

[46] B. Thaller – The Dirac equation, Texts and monographs in mathematical physics, Springer Verlag, 1992. | MR | Zbl

[47] R. M. Wald – « On particle creation by black holes », Comm. Math. Phys. 45 (1975), p. 9–34. | MR

[48] —, General relativity, The University of Chicago Press, 1984. | Zbl

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