Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus

Hervé, Rose-Marie; Hervé, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969) no. 1, pp. 305-359.

On étend aux solutions et sursolutions locales d’une équation elliptique de la forme

$$-\sum _i\frac{\partial u}{\partial x_i}+\left(\sum _j{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}+d_{j}u\right)+\sum _i{b}_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+cu=0$$

les propriétés démontrées dans le cas $d_i=b_i=c=0$ : les solutions locales forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant à l’axiomatique de M. Brelot, les fonctions surharmoniques coïncidant p.p. avec les sursolutions locales ; un principe du maximum pour les fonctions sous-harmoniques majorées par une fonction $\epsilon W_0^{1,2}$ ; la stabilité par balayage sur un ensemble quelconque des fonctions surharmoniques $\epsilon W_0^{1,2}$ ou $W_{\mathrm{loc}}^{1,2}$ ainsi qu’une caractérisation des potentiels $\epsilon W_0^{1,2}$ qui sont les potentiels d’énergie finie.

L’étude est ici compliquée par le fait que la forme bilinéaire associée à l’opérateur n’est pas en général coercive, de sorte que les méthodes utilisées dans le cas $d_i=b_i=c=0$ ne s’appliquent plus.

Local solutions and supersolutions of an elliptic equation

$$-\sum _i\frac{\partial u}{\partial x_i}+\left(\sum _j{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}+d_{j}u\right)+\sum _i{b}_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+cu=0$$

are shown to enjoy the same properties as in the case $d_i=b_i=c=0$, namely: local solutions are a system of harmonic functions satisfying Brelot’s axioms, with superharmonic functions coinciding a.e. with local supersolutions; a maximum principle holds for subharmonic functions majorized by functions in $\epsilon W_0^{1,2}$; the class of superharmonic functions in $\epsilon W_0^{1,2}$ or $W_{\mathrm{loc}}^{1,2}$ is stable by sweeping out; finally those potentials which belong to $\epsilon W_0^{1,2}$ are characterized by finite energies. The main difficulty lies in the fact that the bilinear form $\langle Lu,\nu \rangle$ is not coercive in general, which implies the failure of the methods used in the case $d_i=b_i=c=0$.

[1] M. Brelot, Sur l'allure des fonctions harmoniques et sous-harmoniques à la frontière, Math. Nachr., 4, (1950-1951), 298-307. | MR | Zbl

[2] M. Brelot, Lectures on Potential theory, Tata Institute of Fundamental Research, (1960). | MR | Zbl

[3] M. Brelot, Quelques propriétés et applications nouvelles de l'effilement, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Institut H. Poincaré, (1961-1962), n° 1c. | Numdam | Zbl

[4] H. Cartan, Théorie du potentiel newtonien, Bull. Soc. Math. France, 73, (1945), 74-106. | Numdam | MR | Zbl

[5] G. Choquet, Les noyaux réguliers en théorie du potentiel, C.R. Acad. Sc. Paris, 243, (1956), 635. | MR | Zbl

[6] J. Deny, Les potentiels d'énergie finie (thèse), Acta Math., 82, (1950), 103-183. | MR | Zbl

[7] J. Deny et J.L. Lions, Les espaces du type de Beppo Levi, Ann. Inst. Fourier, 5, (1953-1954), 305-370. | Numdam | MR | Zbl

[8] R.M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel (thèse), Ann. Inst. Fourier 12, (1962), 415-571. | Numdam | MR | Zbl

[9] R.M. Hervé, Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d'une équation uniformément elliptique de la forme Lu = — ∑i ∂/∂xi (∑j aij ∂u/∂xj) = 0, Ann. Inst. Fourier, 14, fasc. 2, (1964), 493-508. | Numdam | MR | Zbl

[10] R.M. Hervé, Quelques propriétés des fonctions surharmoniques associées à une équation uniformément elliptique de la forme Lu = — ∑i ∂/∂xi (∑j aij ∂u/∂xj) = 0, Ann. Inst. Fourier, 15, fasc. 2, (1965), 214-224. | Numdam | MR | Zbl

[11] R.M. Hervé, Quelques propriétés des sursolutions et sursolutions locales d'une équation uniformément elliptique de la forme Lu = — ∑i ∂/∂xi (∑j aij ∂u/∂xj) = 0, Ann. Inst. Fourier, 16, fasc. 2, (1966), 241-267. | Numdam | MR | Zbl

[12] G. Stampacchia, Formes bilinéaires coercives sur les ensembles convexes, C.R. Acad. Sc. Paris, 258, (1964), p. 4413. | MR | Zbl

[13] G. Stampacchia, Séminaire sur les équations aux dérivées partielles, Collège de France, Novembre 1963-Mai 1964. | Numdam

[14] G. Stampacchia, Le problème de Dirichlet pour les équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus, Ann. Inst. Fourier, 15, fasc. 1, (1965), p. 189-258. | Numdam | MR | Zbl