Systèmes aux q-différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion et monodromie
Annales de l'Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 4, p. 1021-1071

G.D. Birkhoff extended the classical Riemann-Hilbert problem for differential equations to the case of “fuchsian” linear q-difference systems with rational coefficients. He solved it in the generic case: the classifying object which he introduces is made up of the connection matrix P, together with the exponents at 0 and . We follow his method in the general case, but treat symmetrically 0 and and use no “wildly” growing solutions. When q tends to 1, P tends to a locally constant matrix P ˜ such that the (finitely many) values P ˜(a) -1 P ˜(b) are the monodromy matrices of the limiting differential system (assumed to be non resonant at 0 and ) at the singularities on * .

G.D. Birkhoff a posé, par analogie avec le cas classique des équations différentielles, le problème de Riemann-Hilbert pour les systèmes “fuchsiens” aux q-différences linéaires, à coefficients rationnels. Il l’a résolu dans le cas générique: l’objet classifiant qu’il introduit est constitué de la matrice de connexion P et des exposants en 0 et . Nous reprenons sa méthode dans le cas général, mais en traitant symétriquement 0 et et sans recours à des solutions à croissance “sauvage”. Lorsque q tend vers 1, P tend vers une matrice localement constante P ˜ telle que les valeurs (en nombre fini) P ˜(a) -1 P ˜(b) sont les matrices de monodromie du système différentiel limite (supposé non résonnant en 0 et ) en les singularités de * .

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Sauloy, Jacques. Systèmes aux $q$-différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion et monodromie. Annales de l'Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 4, pp. 1021-1071. doi : 10.5802/aif.1784. http://www.numdam.org/item/AIF_2000__50_4_1021_0/

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