Hodge-Tate and de Rham representations in the imperfect residue field case

Morita, Kazuma

doi:10.24033/asens.2122

Hodge-Tate and de Rham representations in the imperfect residue field case
[Représentations de Hodge-Tate et de de Rham dans le cas d'un corps résiduel imparfait]

Morita, Kazuma

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 43 (2010) no. 2, pp. 341-355.

Résumé
Abstract

Soit $K$ un corps local $p$ -adique de corps résiduel $k$ tel que $[k : k^{p}] = p^{e} < + \infty$ et soit $V$ une représentation $p$ -adique de $Gal (\bar{K} / K)$ . Nous utilisons la théorie des modules différentiels $p$ -adiques pour montrer que $V$ est une représentation de Hodge-Tate (resp. de Rham) de $Gal (\bar{K} / K)$ si et seulement si $V$ est une représentation de Hodge-Tate (resp. de Rham) de $Gal (\bar{K^{pf}} / K^{pf})$ où $K^{pf} / K$ est un certain corps local $p$ -adique de corps résiduel le plus petit corps parfait $k^{pf}$ contenant $k$ .

Let $K$ be a $p$ -adic local field with residue field $k$ such that $[k : k^{p}] = p^{e} < + \infty$ and $V$ be a $p$ -adic representation of $Gal (\bar{K} / K)$ . Then, by using the theory of $p$ -adic differential modules, we show that $V$ is a Hodge-Tate (resp. de Rham) representation of $Gal (\bar{K} / K)$ if and only if $V$ is a Hodge-Tate (resp. de Rham) representation of $Gal (\bar{K^{pf}} / K^{pf})$ where $K^{pf} / K$ is a certain $p$ -adic local field with residue field the smallest perfect field $k^{pf}$ containing $k$ .

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2122

Classification : 11F80, 12H25, 14F30
Keywords: $p$-adic Galois representation, $p$-adic cohomology, $p$-adic differential equation
Mot clés : représentation galoisienne $p$-adique, cohomologie $p$-adique, équation différentielle $p$-adique

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Morita, Kazuma. Hodge-Tate and de Rham representations in the imperfect residue field case. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 43 (2010) no. 2, pp. 341-355. doi : 10.24033/asens.2122. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2122/

Bibliographie
Cité par

[1] F. Andreatta & O. Brinon, $B_{dR}$ -representations dans le cas relatif, this volume, p. 279-339. | Numdam | MR | Zbl

[2] O. Brinon, Une généralisation de la théorie de Sen, Math. Ann. 327 (2003), 793-813. | MR | Zbl

[3] O. Brinon, Représentations cristallines dans le cas d'un corps résiduel imparfait, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 56 (2006), 919-999. | Numdam | MR | Zbl

[4] J.-M. Fontaine, Le corps des périodes $p$ -adiques, Astérisque 223 (1994), 59-111. | Numdam | MR | Zbl

[5] J.-M. Fontaine, Représentations $p$ -adiques semi-stables, Astérisque 223 (1994), 113-184. | Numdam | MR | Zbl

[6] J.-M. Fontaine, Arithmétique des représentations galoisiennes $p$ -adiques, Astérisque 295 (2004), 1-115. | Numdam | MR | Zbl

[7] O. Hyodo, On variation of Hodge-Tate structures, Math. Ann. 284 (1989), 7-22. | MR | Zbl

[8] K. Kato, Generalized explicit reciprocity laws, Adv. Stud. Contemp. Math. (Pusan) 1 (1999), 57-126. | MR | Zbl

[9] K. Kato, $p$ -adic Hodge theory and values of zeta functions of modular forms, Astérisque 295 (2004), 117-290. | Numdam | MR | Zbl

[10] S. Sen, Continuous cohomology and $p$ -adic Galois representations, Invent. Math. 62 (1980/81), 89-116. | MR | Zbl

[11] T. Tsuji, Purity for Hodge-Tate representations, preprint. | MR | Zbl

[12] N. Tsuzuki, Variation of $p$ -adic de Rham structures, preprint, 1991.

Cité par Sources :