Propagation of singularities for operators with multiple involutive characteristics

Sjöstrand, Johannes

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 1, pp. 141-155.

Soit $P$ un opérateur pseudodifférentiel classique d’ordre $m$ sur une variété $C^{\infty }$, $X$. Soit $p_m$ le symbole principal et supposons que $\Sigma =p_m^{-1}\left(0\right)$ soit une sous-variété $C^{\infty }$ de $T^{*}X\setminus 0$ qui est involutive et satisfait à une certaine condition de transversalité. On suppose que $p_m$ s’annule exactement d’ordre $M$ sur $\Sigma$ et que les dérivées d’ordre $M$ satisfont une certaine condition inspirée du théorème d’unicité de Calderòn (en général vide pour $M=2$). Imposons de plus une condition de Levi pour les symboles d’ordre inférieur. Si $u\in {𝒟}^{\prime }\left(X\right)$, $Pu\in C^{\infty }\left(X\right)$ on montre alors que $WF\left(u\right)$ est une réunion de “feuilles bicaractéristiques” (définies dans l’article).

Let $P$ be a classical pseudodifferential operator of order $m$ on a paracompact $C^{\infty }$ manifold $X$. Let $p_m$ be the principal symbol and assume that $\Sigma =p_m^{-1}\left(0\right)$ is an involutive $C^{\infty }$ sub-manifold of $T^{*}X\setminus 0$, satisfying a certain transversality condition. We assume that $p_m$ vanishes exactly to order $M$ on $\Sigma$ and that the derivatives of order $M$ satisfy a certain condition, inspired from the Calderòn uniqueness theorem (usually empty when $M=2$). Suppose that a Levi condition is valid for the lower order symbols. If $u\in {𝒟}^{\prime }\left(X\right)$, $Pu\in C^{\infty }\left(X\right)$, then $WF\left(u\right)$ is a union of (bicharacteristic leaves), defined in the paper).

[1] J.M. Bony and P. Schapira, Propagation des singularités analytiques pour les solutions des équations aux dérivées partielles, to appear. | Numdam | Zbl

[2] L. Boutet De Monvel, Hypoelliptic operators with double characteristics and related pseudo-differential operators, Comm. Pure Appl. Math., 27 (1974), 585-639. | MR | Zbl

[3] L. Boutet De Monvel, Propagation des singularités des solutions d'équations analogues à l'équation de Schrödinger, Fourier Integral Operators and Partial Differential Equations, Springer Lecture Notes, 459, 1-14. | MR | Zbl

[4] J. Chazarain, Propagation des singularités pour une classe d'opérateurs à caractéristiques multiples et résolubilité locale, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 24,1 (1974), 203-223. | Numdam | MR | Zbl

[5] J.J. Duistermaat, On Carleman estimates for pseudo-differential operators, Inv. Math., 17, (1972), 31-43. | MR | Zbl

[6] J.J. Duistermaat and L. Hörmander, Fourier integral operators II, Acta Math., 128 (1972), 183-269. | MR | Zbl

[7] L. Hörmander, Linear partial differential operators, Grundl. Math. Wiss., 116, Springer Verlag, 1963. | MR | Zbl

[8] L. Hörmander, Pseudodifferential operators and non-elliptic-boundary problems, Ann. of Math., 83 (1966), 129-209. | Zbl

[9] R. Lascar, Propagation des singularités des solutions d'équations quasi-homogènes, Thèse de 3ème cycle, Université Paris VI.

[10] L. Nirenberg, Lectures on linear partial differential equations, Proc. Reg. Conf. at Texas Tech., May 1972, Conf. Board Math. Sci. A.M.S. 17. | MR | Zbl

[11] J. Sjöstrand, Operators of principal type with interior boundary conditions, Acta Math., 130 (1973), 1-51. | MR | Zbl

[12] J. Sjöstrand, Parametrics for pseudodifferential operators with multiple characteristics, Ark. Mat., 12 (1974), 85-130. | Zbl

[13] A. Unterberger, Résolution d'équations aux dérivées partielles dans des espaces de distributions d'ordre de régularité variable, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 21, 2 (1971), 85-128. | Numdam | MR | Zbl

[14] A. Unterberger, Ouverts stablement convexes par rapport à un opérateur differentiel, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 22,3 (1973), 269-290. | Numdam | MR | Zbl